Popis pohybu částice v cylindrických souřadnicích
Lagrangeova funkce popisující pohyb částice v kartézských souřadnicích je dána vztahem (179). Do cylindrických souřadnic jí přepíšeme pomocí následujících transformačních vztahů:
;
;
.
Tyto souřadnice závisí na čase. Vzhledem k tomu, že v dalším výpočtu budeme potřebovat jejich časové derivace, určíme je:
;
;
Nyní dosadíme do lagrangiánu (179), zjednodušíme a dostaneme
 . | (183) |
Kanonické hybnosti odpovídající souřadnicím R, 
a z získáme derivací Lagrangeovy funkce podle zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme
 ,  a  . | (184) |
Z předpisu pro kanonické hybností můžeme vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti a získáme
 ,  a  . | (185) |
Hamiltonovu funkci nyní můžeme psát ve tvaru 
. Po dosazení ze vztahů (183), (184) a (185) pro Hamiltonovu funkci pohybující se částice postupně dostaneme 
. Takže hamiltonián je roven
 | (186) |
a je nezávislý na čase. Proto tedy platí 
.
Další výpočet pomocí Hamiltonových rovnic není možný, protože neznáme konkrétní průběh potenciální energie 
.