Úloha o brachistochroně - motivace variačního principu

Irský matematik, fyzik a astronom sir Rowan Hamilton (1805 - 1865) formuloval svůj formalismus pro popis mechaniky v 19. století. Už v roce 1696 ovšem Johann Bernoulli (1667- 1748) formuluje úlohu, která se stala základem Hamiltonova formalismu. Při řešení Bernoulliho úlohy byly navíc použity některé myšlenky a postupy, které dále rozvinul právě Hamilton.

Zadání úlohy bylo jednoduché: Dva body A a B, které se nacházejí v různých polohách v gravitačním poli, ovšem ne na stejné svislé přímce, se mají spojit takovou křivkou, aby pohyb hmotného bodu z bodu A do B trval minimální čas. Sám Bernoulli zkoušel body spojit úsečkou, částí kružnice a dalšími křivkami, ovšem jako správné řešení se nakonec ukázala křivka, které se nazývá brachistrochrona a která (jak vyplývá z nalezeného řešení - viz vztahy (154)) je cykloidou.

Řešení této úlohy poměrně brzy po jejím zveřejnění našli německý matematik Leibnitz, bratři Jacob a Johann Bernoulliové, francouzský matematik a fyzik l’Hospital a v Anglii Newton.

Hledáme tedy minimum (extremální hodnotu) času, který závisí na tvaru trajektorie, po níž se pohybuje hmotný bod mezi body A a B. To znamená, že hledáme extrém funkce , kde  je funkce popisující trajektorii pohybujícího se hmotného bodu.

Tato a podobné úlohy byly předzvěstí později vybudovaného Hamiltonova variačního principu, který je součástí Hamiltonova formalismu.

Hledání řešení úlohy o brachistochroně tak ovlivnilo vývoj matematiky i fyziky.