Definice a základní vztahy kanonických transformací

Kanonická transformace je každá změna souřadnic fázového prostoru (parametrů fázového prostoru), která zachovává strukturu Hamiltonových kanonických rovnic.

To znamená, že po kanonické transformaci budou mít Hamiltonovy kanonické rovnice (174) stejný tvar jako před ní.

Označíme-li původní zobecněné souřadnice  a původní kanonické hybnosti  a označíme-li dále nové zobecněné souřadnice  a nové kanonické hybnosti , tak pak požadujeme, aby funkce

a

(206)

splňovaly Hamiltonovy kanonické rovnice ve tvaru

a

(207)

pro hamiltonián .

Splnění těchto požadavků není triviální, neboť kanonických transformací je velmi málo. Jsou ale velmi důležité pro další počítání a pro zobecnění do dalších oborů fyziky.

Při konstrukčním důkazu kanonické transformace vyjdeme ze vztahu (168). Ten definuje Lagrangeovu funkci , na základě níž lze odvodit stejné pohybové rovnice jako z Lagrangeovy funkce L. Nyní přepíšeme vztah (168) ve tvaru , kde F je libovolná hladká funkce, která závisí na původních zobecněných souřadnicích nebo kanonických hybnostech a na kalibrační transformací nově definovaných proměnných. Jsou tedy celkem čtyři možnosti, na jakých proměnných může funkce F záviset:

1.     ;

2.     ;

3.     ;

4.     .

Funkce , ,  a  se nazývají generující funkce kanonické transformace. Pomocí Hamiltonova variačního principu a s využitím podmínky (130) (variace akce je nulová) lze získat podmínky, za kterých je transformace popsaná jednou ze čtyř výše uvedených funkcí kanonická. Tímto způsobem lze pro každou z výše uvedených funkcí získat tzv. podmínky kanoničnosti, tj. nutné a postačující podmínky, které musí být splněny, aby daná transformace byla kanonická (viz tab. 1).

Třetí sloupec tab. 1 získáme tak, že každou rovnici ze druhého sloupce daného řádku derivujeme podle proměnné, podle níž se derivuje druhá z rovnic ve druhém sloupci tabulky. Např. pro první řádek derivujeme rovnici  podle  a rovnici  podle  a získáme:  a . Při záměnnosti parciálních derivací platí: . Důležité je, aby derivované proměnné byly vyjádřeny ve správných proměnných, tj. v proměnných, v jakých je vyjádřena v tomto případě funkce  (obecně funkce z daného řádku tabulky).

Generující funkce	Podmínky kanoničnosti	Podmínky integrability

tab. 1

Derivace ve druhém sloupci tab. 1 se počítají podle proměnných, na kterých závisí daná generující funkce. Přitom platí: derivace podle jedné původní proměnné je rovna druhé původní proměnné (např. ) a derivace podle jedné nové proměnné je rovna druhé nové proměnné (např. ). Znaménko mínus je u původní zobecněné souřadnice a u nové kanonické hybnosti.

Dále platí  pro  a pro .

Pro ověření faktu, zda daná transformace je či není kanonická, stačí ověřit vztahy z jednoho řádku tab. 1.

Důkaz vztahů uvedených v tab. 1 lze provést rozpisem lagrangiánu a hamiltoniánu daného fyzikálního systému. Pro funkci  můžeme na základě vztahu (168) psát

.

(208)

Je-li právě uvedeným předpisem lagrangián definovaný v každém čase t a získáme-li variací příslušných akcí ve fázovém prostoru stejné pohybové rovnice v původních souřadnicích i v nových souřadnicích, je uvažovaná transformace popsaná generující funkcí  kanonická.

Dosazením vztahu (176) (vyjádření lagrangiánu pomocí hamiltoniánu) do vztahu (208) získáme: . Přeuspořádáním členů tohoto výrazu dostaneme

.

(209)

Vztah (209) je identicky splněn, pokud ,  a , což jsou vztahy, jejichž platnost jsme měli dokázat.

Důkaz pro funkci  je podobný. Analogicky jako pro funkci , můžeme i pro funkci  napsat vztah

,

(210)

ve kterém jsou ve srovnání se vztahem (209) jen jiné parciální derivace funkce , neboť funkce  závisí na proměnných ,  a t. Nyní bychom potřebovali (stejně jako v předchozí části důkazu) porovnat koeficienty u  a . Využijeme tedy toho, že přičtením úplné časové derivace funkce k lagrangiánu se popis systému nezmění (viz vztah (168)). Určitě platí identita

,

(211)

kterou můžeme dosadit do vztahu (210) a dostaneme tak  a po přerovnání členů získáme vztah , který je splněn pro ,  a . Poslední rovnost můžeme s využitím vztahů (168) a (176) psát ve tvaru , čímž jsme získali sérii vztahů, jejichž platnost jsme chtěli ukázat.

Lagrangián ani hamiltonián daného fyzikálního systému se nezmění, jestliže k němu přičteme úplnou časovou derivaci funkce. A výraz  je úplnou časovou derivací funkce.

Důkazy pro funkce  a  by byly analogické.