Zobecnění Lagrangeových rovnic na N hmotných bodů a v vazeb

Lagrangeovy rovnice I. druhu popisující pohyb jednoho hmotného bodu lze zobecnit na pohyb N hmotných bodů a v vazeb.

Lagrangovy rovnice I. druhu pro  hmotných bodů a  vazeb jsou rovnice ve tvaru

(7)

a

pro ,

(8)

kde  jsou kartézské souřadnice  hmotných bodů.

Rovnice (7) a (8) tvoří soustavu 3N + v rovnic o stejném počtu neznámých:  pro  a  pro . Tyto rovnice by bylo možné zobecnit i na neholonomní vazby, ale pouze takové, které závisí na rychlosti lineárně.

Psaní indexů nahoru nebo dolů za příslušnou proměnnou vyžaduje hlubší studium diferenciální geometrie, během kterého se ukáže rozdíl mezi varietou, formou, vektorem, … Na úrovni teoretické mechaniky a v euklidovském prostoru by bylo možné psát všechny indexy dole.

Souřadnice  jsou řazeny tak, že souřadnice  určují polohu prvního hmotného bodu, souřadnice  určují polohu druhého hmotného bodu, … Analogicky jsou indexovány složky vektoru síly.

V uvedeném systému indexování pak platí , , …

Analogický popis soustavy hmotných bodů, jejichž pohyb je omezen vazbami, lze udělat i pomocí jedné rovnice. Tím ovšem přecházíme od vektorové mechanice k analytické mechanice.