Operace s vektory

Uvažujme například vektor síly . Na obr. 2 je znázorněna síla o velikosti 4 N. Tuto skutečnost zapisujeme zápisem: . Velikost každého vektoru je skalár.

Počáteční bod vektoru (bod A) určuje umístění vektoru, přímka procházející počátečním a koncovým bodem se nazývá vektorová přímka.

Obr. 2

S vektory lze provádět některé matematické operace:

1. násobení vektoru nenulovým reálným číslem k (skalárem) - výsledný vektor je k-násobkem původního vektoru . Výsledný vektor je rovnoběžný s původním vektorem a má stejný směr jako vektor , je-li k kladné. Pokud je k záporné, je výsledný vektor orientován opačně. Velikost výsledného vektoru je .

2. sčítání dvou vektorů - ve fyzice má jisté omezení: sčítat lze jen fyzikální veličiny téhož druhu (např. nelze sčítat sílu a rychlost, …). Součet dvou různoběžných vektorů a - vektor - sestrojíme jako úhlopříčku vektorového rovnoběžníku, jehož strany tvoří vektory a . Výsledek vektorového sčítání závisí nejen na velikosti jednotlivých vektorů, ale také na jejich směrech, tj. na úhlu, který oba vektory svírají (viz obr. 3). Jsou-li vektory a rovnoběžné, stačí např. vektor přenést na vektorovou přímku vektoru tak, aby počáteční bod vektoru byl totožný s koncovým bodem vektoru .

3. rozdíl vektorů - platí stejné omezení jako u sčítání vektorů: opět lze odčítat pouze fyzikální veličiny stejného druhu. Rozdíl různoběžných vektorů a sestrojíme tak, že k vektoru přičteme vektor opačný k vektoru , tj. provedeme operaci (viz obr. 4). V případě rovnoběžných vektorů se jejich rozdíl provádí analogicky jako jejich součet.

4. rozklad vektoru do dvou daných směrů - operace, která se ve fyzice používá velice často. V tomto případě hledáme dva takové vektory, které leží v daných směrech a jejichž vektorovým součtem dostaneme zadaný vektor. Máme-li např. vektor rozložit do směrů daných polopřímkami p a q, (viz obr. 5), uvědomíme si, že při sčítání dvou vektorů (dva nalezené vektory musí po sečtení dát vektor ) využíváme vektorového rovnoběžníku. V tomto případě postupujeme „odzadu“: koncovým bodem vektoru vedeme rovnoběžky s polopřímkami p, q. Průsečíky sestrojených rovnoběžek s polopřímkami p a q určují koncové body hledaných vektorů a . Vektor jsme tedy rozložili na dvě složky a , pro něž platí: .

Obr. 3	Obr. 4	Obr. 5

Ve fyzice se používají ještě další dvě operace s vektory. A to skalární a vektorový součin.

Skalární součin dvou vektorů a je definován takto: , kde příslušné vektory mají souřadnice a . Skalární součin je možné určit také vztahem , kde je úhel, který tyto vektory svírají. Jedná se vlastně o součin velikosti jednoho z vektorů a kolmého průmětu druhého vektoru do směru prvního vektoru (viz obr. 6). Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je tedy číslo. Budou-li vektory a nenulové, pak v případě, že vektory jsou na sebe vzájemně kolmé, jestliže příslušné vektory svírají ostrý úhel a v případě, že svírají úhel tupý. Skalární součin lze aplikovat i na dva vektory v rovině.

Vektorový součin dvou vektorů a (viz obr. 7) je opět vektor, který je definován takto: , velikost vektoru je číselně rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory a , tj. ( je úhel, který svírají vektory a ) a je orientován vůči rovině vektorů a podle pravidla pravé ruky. Souřadnice vektoru jsou: , kde a . Platí-li: , pak . Další podstatnou vlastností je , tj. uvedená operace mezi vektory není komutativní. Vektorový součin je definován pouze pro dva vektory ze 3D prostoru.

Obr. 6	Obr. 7