Síly se společným působištěm

Najít výslednici dvou různoběžných sil ležících v rovině, které mají společné působiště, lze několika způsoby:

1.     grafickým součtem sil a výpočtem pomocí kosinové věty

2.     rozkladem sil do dvou navzájem kolmých směrů, následným grafickým součtem vektorů a výpočtem pomocí Pythagorovy věty a goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku

Naznačené postupy vysvětlíme na hledání výslednice  a , které mají společné působiště v bodě P (viz  obr. 90).

První způsob řešení je založen na skládání dvou různoběžných vektorů doplněním na rovnoběžník vektorů (což je běžná operace s vektory). Koncovými body zadaných sil vedeme postupně rovnoběžky s oběma silami. V místě průsečíku těchto rovnoběžek leží koncový bod hledané výslednice  (viz obr. 91). Velikost této síly určíme pomocí kosinové věty a využitím vlastnosti funkce kosinus: . Lze tedy psát:  . Úhel , který svírá výslednice  s jednou ze sil (podle obr. 91 tento úhel svírá se silou ), určíme pomocí sinové věty. V našem případě lze tedy psát: . Vzhledem k tomu, že , lze psát .

Obr. 90	Obr. 91

Naprosto analogicky lze postupovat i pomocí rozkladu zadaných sil na dvě navzájem kolmé složky, které mají směr os kartézského systému souřadnic 0xy.

Rozklad na kolmé složky je výhodný pro další počítání - lze pak totiž použít goniometrické funkce sinus, kosinus nebo tangens.

Tuto metodu ukážeme při hledání výslednice  sil  a  zobrazených na obr. 92 v kartézském systému souřadnic 0xy.

Kdyby síly nebyly zobrazeny v kartézském systému souřadnic, je velmi jednouché tento systém souřadnic k zakresleným silám dokreslit. Orientace systému souřadnic může být přitom naprosto libovolná - proto je vhodné si natočení kartézského systému souřadnic zvolit tak, aby procházel jednou ze zakreslených sil. Zde ale ponecháme zadání z obr. 92.

Obr. 92

Nejprve provedeme rozklad sil  a  na dvě navzájem kolmé složky. Ty jsou charakterizovány svou velikostí a úhlem, který svírá vektor dané síly s kladnou částí osy x. Pro jednotlivé složky sil platí (viz obr. 93): , ,  a . Nyní lze jednoduše určit x-ovou a y-ovou složku výsledné síly  tak, že odpovídající si složky složíme (tj. sečteme, mají-li stejný směr, resp. odečteme, mají-li směr opačný). Jak při skládání těchto složek postupujeme je schématicky zobrazeno na obr. 94). Z koncových bodů obou složek výsledné síly  vedeme rovnoběžky s osami kartézského systému. Průsečík těchto pomocných rovnoběžek je koncovým bodem hledané výslednice .

Naprosto stejný výsledek bychom dostali, kdybychom síly složili tak, jako v předchozím výkladu.

Obr. 93	Obr. 94

Pro velikost složek výsledné síly  platí:  a . Pro velikost hledané síly  pak platí: .

Směr síly  je dán úhlem , který svírá vektor této síly s kladnou částí osy x. Nejdříve vypočteme úhel  pomocí vztahu . Pro úhel  v závislosti na znaménku složek  a  platí:

1.     je-li , je  (síla  leží v prvním kvadrantu kartézského systému 0xy);

2.     je-li , je  (síla  leží ve druhém kvadrantu kartézského systému 0xy);

3.     je-li , je  (síla  leží ve třetím kvadrantu kartézského systému 0xy);

4.     je-li , je  (síla  leží ve druhém kvadrantu kartézského systému 0xy).

Analogicky se postupuje v případě skládání sil se společným působištěm v prostoru. Zadané síly se zakreslí do kartézské soustavy 0xyz a rozloží se na tři navzájem kolmé složky mající směr os x, y a z. Pro velikost výsledné síly pak platí , kde ,  a  jsou složky síly  do směrů jednotlivých os.

Nyní by mělo být jasné, že složky sil (ať sil skládaných nebo výslednice) mohou být jak kladné, tak záporné (případně nulové):

1.     x-ová (resp. y-ová) složka dané síly je kladná, má-li tato složka směr kladné části osy x (resp. y)

2.     x-ová (resp. y-ová) složka dané síly je záporná, má-li tato složka směr záporné části osy x (resp. y)

3.     x-ová (resp. y-ová) složka dané síly je nulová, je-li daná síla kolmá k ose x (resp. y)

Nulové síly (tj. síly, jejichž velikost je nulová) nebudeme při skládání sil uvažovat!