Pohyb N hmotných bodů ve více dimenzích

Budeme uvažovat N hmotných bodů, které jsou podrobeny silám a vazbám a jejichž pohyb je popsán zobecněnými souřadnicemi (17). Tyto zobecněné souřadnice jsou svázány s kartézskými souřadnicemi vztahy (18). Odvození Lagrangeových rovnic druhého druhu pro soustavu hmotných N bodů bude velmi podobné jako odvození Lagrangeovy rovnice druhého druhu pro jeden hmotný bod. Proto bude odvození zde komentováno již méně.

Trajektorie hmotných bodů bude obecně popsána funkcemi

(31)

pro  a .

Kinetickou energii dané soustavy hmotných bodů lze psát ve tvaru

,

(32)

který lze dále rozepsat do tvaru

.

(33)

Pro hmotnosti platí: , , …

Nyní přepíšeme vztah (33) pro kinetickou energii soustavy hmotných bodů v konkrétním čase  a provedeme formální záměnu časové derivace funkce  za zobecněnou rychlost . Dostaneme tak

.

(34)

Nyní určíme výrazy  a . Dostáváme

(35)

a

.

(36)

Vztahy (35) a (36) byly odvozeny pro konkrétní čas , nicméně tento čas byl vybrán libovolně. Proto tyto vztahy platí pro libovolný čas t a je možné přejít opět ke vztahům, které jsou závislé na čase. Vztahy (35) a (36) tedy lze vyjádřit ve tvarech

(37)

a

.

(38)

Vyčíslením výrazu  (pro ) dostáváme  a po úpravě získáme

.

(39)

Na základě vztahu (39) můžeme definovat tzv. zobecněnou sílu.

Zobecněná síla  je definována vztahem

(40)

pro .

Zobecněné síly  nemusí být síly v pravém slova smyslu.

Nyní je již možné napsat Lagrangeovy rovnice druhého druhu.

Lagrangeovy rovnice II. druhu, které popisují pohyb soustavy  hmotných bodů, se nazývají rovnice

(41)

pro . Přitom  je kinetická energie soustavy hmotných bodů,  jsou zobecněné souřadnice a  jsou zobecněné rychlosti.

Tyto rovnice jsou tedy pohybovými rovnicemi, které popisují pohyb dané soustavy hmotných bodů. Rovnice (41) vyjadřují Lagrangeovy rovnice II. druhu v nejobecnějším tvaru, který lze v určitých speciálních případech zjednodušit (viz 3.4).

Rovnice (41) tvoří soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro neznámé funkce  (pro ).

Na první pohled by se mohlo zdát, že to jsou rovnice parciální, protože v rovnicích (41) vystupují parciální derivace. Zápis  resp.  představuje ovšem jen návod (pomůcku) na získání derivace kinetické energie. Samotné neznámé funkce  jsou závislé jen na čase, takže v upravených rovnicích (tj. už po provedení naznačených parciálních derivací) vystupují jen totální derivace  podle času.