d’Alembertův princip

Autorem tohoto principu je Jean Le Rond d’Alembert (1717 - 1783), který tento princip publikoval v roce 1742.

Systém  hmotných bodů se vyvíjí takovým způsobem, že platí:

,

(9)

kde  jsou složky tzv. virtuálního posunutí.

Rovnicí (9) tak vlastně d’Alembert přeformuloval Newtonovu mechaniku pomocí nového přístupu. Základní představa byla taková, že virtuální posunutí jsou nekonečně malá posunutí, která jsou v souladu s vazbami . Složka  virtuálního posunutí tak vlastně odpovídá změně polohy hmotného bodu, tj. odpovídá změně souřadnice .

Pokud tedy rovnice (9) platí pro všechna , odpovídají složky sil  složkám zrychlení  a pohyb hmotného bodu lze uskutečnit. Na základě  můžeme určit polohu hmotného bodu v čase a můžeme tak konstruovat jeho trajektorii implicitním způsobem.

Rovnice (9) je tedy splněna tehdy, pokud složky sil  a složky zrychlení  jsou vzájemně dobře nastaveny.

Virtuální posunutí se složkami  je pojem, který zavedl d’Alembert a jeho kolegové. Z hlediska současné interpretace lze na virtuální posunutí nahlížet jako na tečný vektor , který je sestrojen v daném bodě P plochy k této ploše, po níž se hmotný bod pohybuje. Jedná se o tzv. konfigurační prostor Q, který je popsán rovnicí . Všechny uvažované tečné vektory pak leží v tečné rovině  sestrojené v bodě P (viz obr. 12). Proto platí .

Obr. 12

Každý bod konfiguračního prostoru Q má svůj tečný prostor - tečnou rovinu .

Konfigurační prostor tedy je plochou vazby popsané rovnicí . V něm leží ty body, v nichž se může pohybující se hmotný bod nacházet.

V rovnici (9) tedy testujeme výchylku hmotného bodu z bodu, v němž se právě nachází, do všech tečných směrů popsaných tečnými vektory  ležícími v .

d’Alembertův princip je ekvivalentní Lagrangeovým rovnicím I. druhu (viz rovnice (7) a (8)) a tedy je ekvivalentní i Newtonovým rovnicím s (holonomními) vazbami.

Toto tvrzení lze dokázat.

Nejdříve dokážeme implikaci, že z Lagrangeových rovnic I. druhu (tj. ze vztahů (7) a (8)) vyplývá d’Alembertův princip (vztah (9)).

Rovnici  upravíme na tvar  a vynásobíme složkou virtuálního posunutí  a sečteme: . Nyní zaměníme pořadí sčítání na pravé straně rovnice . Pokud uvědomíme, že  je složka gradientu  a  je složka tečného vektoru, můžeme psát . Gradient plochy  má ovšem směr normály k této ploše (viz vztah (4)) a je tedy kolmý k tečně (resp. k tečné rovině) v daném bodě. Je tedy kolmý i k tečnému vektoru  a jejich skalární součin je nulový. Proto .

Důkaz obrácené implikace, tj. že ze vztahu (9) vyplývají vztahy (7) a (8) provedeme úvahou. Uvážíme dva případy:

1.     neexistuje vazba - to znamená, že složky virtuálního posunutí  jsou navzájem nezávislé a tedy  pro všechna i od 1 do 3N;

2.     existují vazby - to znamená, že složky virtuálního posunutí  obecně nejsou  navzájem nezávislé. Metodou Lagrangeových multiplikátorů lze dokázat, že musí existovat systém 3N + v rovnic, které splňují podmínky (7) a (8).

Fakt, že složky  nejsou obecně nezávislé si lze představit následující úvahou: když jdeme ze schodů, jdeme dopředu, ale zároveň jdeme dolů. Tj. díky existenci vazby (schody) nemůže naše rychlost mířit libovolným směrem. Složky  jsou složkami tečných vektorů. A vektor rychlosti je k dané ploše vždy tečný.

Metoda Lagrangeových multiplikátorů se používá v matematické analýze při hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných.

Rovnice (9) platí jen pro vratná virtuální posunutí , tj. taková posunutí, že k posunutí  existuje také posunutí . V případě oboustranných vazeb jsou všechna posunutí vratná. V případě jednostranných vazeb by vratná posunutí byla jen dvě - viz obr. 13, na kterém jsou zakreslena vratná posunutí  a . (Obrázek je schématický a platí i pro zakřivené vazbové plochy nikoliv jen pro rovinu.)

Obr. 13

Pokud bychom v případě jednostranných vazeb uvažovali i nevratná virtuální posunutí, změnil by se tvar d’Alembertova principu (9) na tvar

.

(10)

Na základě vztahu (9) lze najít i dva speciální případy d’Alembertova principu:

1.     není žádná vazba - to znamená, že složky virtuálního posunutí  jsou libovolné a na sobě navzájem nezávislé. Vztah (9) pak lze psát ve tvaru

(11)

pro všechna . Získáme tak 3N na sobě nezávislých Newtonových rovnic.

2.     není žádný pohyb - to znamená, že  pro všechna  a tedy platí

.

(12)

Občas je vhodné takovou situaci (tj. silové působení bez pohybu) studovat: stabilita mostů, statické konstrukce (např. vysílačů, stožárů vysokého napětí, …) a podobně.

Vztah (12) definuje princip virtuální práce, která by se vykonala, kdyby se hmotný bod vychýlil ze svého rovnovážného stavu.

Tento poznatek odvodil Johann Bernoulli (1667 - 1748) v roce 1717, ale základy principu virtuální práce byly známy již od starověku.

Na základě vztahu (12) lze právě rovnovážný stav poznat: vztah (12) totiž v rovnovážném stavu musí platit pro všechna virtuální posunutí.

Je-li těleso v rovnovážném stavu (viz obr. 14), tak ať ho vychýlíme jakýmkoliv směrem, který vazby systému umožňují, tak se vždy vrátí do rovnovážného stavu. V případě nerovnovážného stavu (viz obr. 15) to neplatí.

V případě určitého typu sil se situace zjednoduší. Tyto síly se nazývají konzervativní síly.

Pro konzervativní síly platí

.

(13)

To ovšem znamená, že potenciální energie může mít extrém - existují tedy tři možnosti:

1.     potenciální energie nabývá minima - jedná se o stabilní rovnovážnou polohu (viz obr. 14);

2.     potenciální energie nabývá maxima - jedná se o labilní rovnovážnou polohu (viz obr. 15);

3.     potenciální energie nemá extrém - jedná se o indiferentní rovnovážnou polohu (viz obr. 16).

Podmínka (13) udává podmínku rovnováhy, ale není možné usoudit o jaký z právě uvedených tří možných případů se jedná.

Obr. 14	Obr. 15	Obr. 16

Symbol  se používá z historických důvodů a lze místo něj psát totální diferenciál .

Příklad: Rovnováha tyčky mezi stěnou a hranou
Homogenní tyč délky 2l je umístěna mezi stěnou a hranou, které jsou ve vzájemné vzdálenosti a. Při jaké poloze bude tyč v rovnovážné poloze?
Řešení: K řešení využijeme d’Alembertův princip v jeho speciální podobě podle vztahu (12). Hledáme rovnovážnou polohu, tj. stav systému (tyče) bez rotace a posunutí - budeme tedy uvažovat pouze jedinou sílu, která na tyč působí: gravitační sílu  (viz obr. 17). Na základě této úvahy a vztahu (12) lze psát , tj.  a po dosazení: . Odtud získáme . To znamená, že rovhovážná poloha nastává tehdy, pokud se y-ová souřadnice polohy těžiště nemění.

Představíme-li si pohyb tyče v souladu s danými vazbami, tak se její těžiště bude pohybovat po části kružnice. V místě, kde nastává rovnováha, se y-ová souřadnice jeho polohy skutečně nemění.

Polohu tyče je dobré popsat pomocí úhlu , který svírá tyč s kladnou částí osy x. Pak lze pro y-ovou souřadnici těžiště, která je závislá na úhlu , psát: . Proto . Vzhledem k tomu, že má platit  pro všechna , musí být . Odtud získáme, že .
Tyč je v rovnovážné poloze, svírá-li s vodorovným směrem úhel , který je dán vztahem .

Obr. 17