Newtonovský efektivní potenciál

Nejjednodušší je vyšetřování Newtonovského efektivního potenciálu.

Na obr. 41 je zobrazen průběh Newtonovského efektivního potenciálu popsaného vztahem

(108)

a celkové mechanické energie E, kterou má těleso pohybující se kolem centra daného centrálního pole. Na základě podmínky (107) je zřejmé, že přípustné hodnoty potenciální energie pohybujícího se tělesa leží vždy buď na přímce konstantní celkové mechanické energie nebo pod ní. Z obrázku je též zřejmé, že existuje minimum efektivního potenciálu (108).

Obr. 41

Newtonovský efektivní potenciál zapsaný ve tvaru (108) má pro malá r (malé vzdálenosti od centra uvažovaného centrálního pole) průběh odpovídající funkci  a pro velká r průběh odpovídající funkci . Proto existuje minimum efektivního potenciálu.

Pro malá r je ve vztahu (108) dominantním členem člen úměrný , protože člen úměrný  je zanedbatelný ( pro malá r roste rychleji než ). Pro velká r je tomu naopak:  klesá velmi rychle a tedy se uplatní (tj. ve vztahu „zbude“) pouze člen .

V grafu na obr. 41 je zobrazena i tzv. zakázaná oblast, v níž se pohybující těleso nemůže nikdy nacházet. To ovšem znamená, že těleso, které se pohybuje kolem centra pole umístěného v bodě  grafu, do tohoto centra nikdy nemůže spadnout. Ovšem pouze za předpokladu, že:

1.     uvažujeme pouze bodové částice - kdybychom uvažovali např. pohyb kolem Slunce, pak by zakázaný pás byl ve směru osy r posunut o takovou vzdálenost, která odpovídá poloměru Slunce.

2.     neuvažujeme radiální pohyby - tj. předpokládáme pouze oběžný pohyb kolem centra pole.

Obr. 42

Radiální pohyb je popsán efektivním potenciálem  (moment hybnosti je nulový) a závislost efektivního potenciálu na vzdálenosti je zobrazena na obr. 42.

Na základě grafu závislosti efektivního potenciálu na vzdálenosti lze klasifikovat pohyby. Nedostaneme sice přesné tvary rovnic popisující trajektorii pohybujícího se objektu, získáme ovšem velmi rychle dobrou kvalitativní předpověď studovaného pohybu. Podle obr. 43 lze tedy popsat pohyb tělesa v centrálním poli v závislosti na hodnotě celkové mechanické energie:

1.      - těleso se pohybuje po hyperbole a bod  odpovídá periheliu jeho trajektorie;

2.      - těleso se pohybuje po parabole a bod  odpovídá periheliu jeho trajektorie;

Tyto dva případy popisují např. trajektorie komet. Ty přiletí do grafu na obr. 43 zprava (z velkých vzdáleností od Slunce), proletí perihéliem a opět se vrací do velkých vzdáleností.

3.      - těleso se pohybuje po elipse, přičemž bod  odpovídá periheliu a bod  aféliu jeho trajektorie;

Perihélium  je ke Slunci blíže než afélium .

4.      - těleso má nejmenší možnou zápornou celkovou mechanickou energii (viz vztah (94)) a pohybuje se po kružnici o poloměru, který je dán souřadnicí r bodu .

Těleso má tedy během svého pohybu konstantní vzdálenost od centra daného pole - tj. např. od Slunce.

Body , , ,  a  se nazývají body obratu a platí pro ně .

V bodech obratu se tedy nemění v závislosti na čase radiální vzdálenost pohybujícího se tělesa od centra pole. V těchto bodech tak skutečně nastává „obrat“ pohybu tělesa: vzdalování se začíná měnit na přibližování (v aféliu) nebo přibližování se mění na vzdalování (v periheliu).

Obr. 43