Důkaz Pythagorovy věty

Jedním ze základních poznatků matematiky je i Pythagorova věta. Tu znali patrně již staří Egypťané, kteří na základě trojúhelníka o stranách délky 3 jednotky, 4 jednotky a 5 jednotek vyměřovali pravé úhly. Formální důkaz platnosti této důležité věty provedli až pythagorejci.

Trojúhelník o stranách délky 3, 4 a 5 je pravoúhlý, neboť jeho strany splňují Pythagorovu větu.

Důkazů Pythagorovy věty existuje celá řada - ať už to jsou geometrické důkazy nebo algebraické důkazy.

Geometrický důkaz je důkaz, který je založen na práci s geometrickými objekty (čtverce, obdélníky, jejich obsahy, …) a na „obrázcích“. Algebraický důkaz je veden pomocí úprav algebraických výrazů.

Jedním z důkazů je důkaz, který lze postupně sledovat na obr. 9 a obr. 10. Na obou obrázcích je zobrazen ve čtverci PQRS pravoúhlý trojúhelník ABC. A právě tento pravoúhlý trojúhelník je ten, pro který se budeme snažit dokázat platnost Pythagorovy věty.

Na obr. 9 je dále sestrojen čtverec AEFC, který je sestrojen nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka ABC, tj. jedna strana tohoto čtverce je shodná s přeponou tohoto trojúhelníka.

Většinou se čtverec sestrojuje tak, že je „mimo“ trojúhelník, ale v tomto případě se sestrojen „přes“ trojúhelník. Důvody této volby budou zřejmé.

Z obr. 9 vyplývá, že čtverec AEFC můžeme doplnit čtyřmi shodnými pravoúhlými trojúhelníky APE, EQF, FRC a CSA na čtverec PQRS. Přitom tyto trojúhelníky jsou shodné i s trojúhelníkem ABC.

Obr. 9	Obr. 10

Na obr. 10 je zobrazen tentýž čtverec PQRS a tentýž pravoúhlý trojúhelník ABC. Nad odvěsnami AB a BC tohoto trojúhelníka jsou sestrojeny čtverce PLBA a BKRC. Tyto dva čtverce můžeme doplnit čtyřmi shodnými pravoúhlými trojúhelníky ABC, CSA, BLQ a QKB na čtverec PQRS. Vzhledem k tomu, že trojúhelníky ABC, CSA, BLQ a QKB jsou shodné s trojúhelníky APE, EQF, FRC a CSA, kterými jsme doplnili čtverec AEFC rovněž na čtverec PQRS, musí mít čtverec AEFC stejný obsah jako je součet obsahů čtverců PLBA a BKRC. Jinými slovy: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhelného trojúhelníka ABC je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami tohoto trojúhelníka.

A to je znění Pythagorovy věty, která byla tímto dokázána.