Arabská matematika

Nejvýraznějším arabským matematikem byl Muhamad ibn Músa al-Chwárízmí (780 - 850) ze středověkého Chorému, správce bagdádského Domu moudrosti. Překládal díla z řečtiny a z východních jazyků, sepsal pojednání o aritmetice a algebře. Na základě jeho traktátu o řešení rovnic Kitab al-muchtasav min chisáb al-džabr wa-I-mukabala získala algebra své jméno: je odvozeno od slova al-džabr. V tomto díle soustředil tehdejší znalosti arabské matematiky, která velmi silně vycházela z řecké matematiky. Zajímal se hlavně o výpočetní postupy a jejich usnadnění. Tyto postupy pak plně rozvinul ve své druhé slavné knize Kniha o sčítání a odčítání podle indického počtu, která začíná slovy „Tak praví al Chwárizmí …“. Chwárizmího jméno bylo ovšem v latinských překladech zkomoleno a tak latinský překlad začíná slovy „Algoritmi dictit …“, odkud je také odvozen název „algoritmus“. V tomto spise se poprvé objevují pravidla pro počítání s čísly zapsanými v poziční desítkové soustavě: pravidla pro sčítání, odčítání, násobení i dělení a to i pro velká čísla. Tyto postupy, které se v současné době stále používají, jsou velmi mechanické a lze je dělat bez větší duševní námahy. Al Chwárizmí vypracoval také postupy pro řešení rovnic a zvládl i počítání se zlomky, což v té době nebylo běžné. Počítal ovšem se zlomky šedesátinnými, neboť tato soustava se v islámských zemích původně používala. Od indického matematika Árjabhaty převzali Arabové trigonometrické funkce sinus a kosinus a doplnili je o funkce tangens a kotangens. Chwárízmí pak sestavil jedny z prvních trigonometrických tabulek. Věnoval se i geografii - sepsal spis o astrolábu a o slunečních hodinách, v němž uvedl také zeměpisné polohy 489 míst.

Jedna z rovnic, kterou Chwárízmí vymyslel, zní: Rozdělil jsem číslo deset na dvě části. Vynásobil jsem první číslo deseti a druhé sebou samým a výsledky byly tytéž. Tato úloha vede tedy na rovnici , která platí pro kratší díl úsečky délky 10 jednotek rozdělené zlatým řezem. Zda měl ale skutečně na mysli zlatý řez, se neví.

Chwárízmí označoval neznámou jako šaj (věc). Pod jeho vlivem se pak neznámá označovala v raných latinských spisech o algebře jako res a v italských pak jako cosa. Algebra se proto začala nazývat l’arte della cosa (umění věci). Občas se také o algebře mluvilo jako o ars magna (velké umění), aby se odlišila od aritmetiky, která byla považována za nižší předmět.

Trigonometrické funkce byly zpočátku používány jen astronomy. Postupně byla přeložena díla indického matematika Brahmagupty, Ptolemaiův Almagest a některé spisy od Aristotela. S větší přesností bylo v rovné krajině u Eufratu zopakováno měření rozměru Země na základě metody, kterou vypracoval Eratosthenes. Lepší přesnost měření vyplývá z lépe určené vzdálenosti dvou míst na stejném poledníku.

Mezi význačné arabské matematiky patřil i abú Kámil Šudža (zvaný Hasíb Mistrí) (850 - 930), který sepsal řadu knih. Z nich se dochovaly např. Kniha o algebře, Kniha o vzácných jevech v umění výpočtů a Kniha o vyměřování a geometrii. Abú Kámil byl patrně první matematik, který se kromě pouhého hledání nějakého řešení snažil o nalezení všech řešení daného problému. V díle Kniha o vzácných jevech v umění výpočtů dokonce popisuje úlohu, pro níž našel 2678 řešení. Jeho knihy se staly podkladem pro některé práce italského matematika Leonarda Pisánského zvaného Fibonacci. Abú Kámilovo pojednání O pětiúhelníku a desetiúhelníku obsahuje dvacet úloh a jejich řešení, ve kterých vypočítává obsahy rovinných obrazců a délky jejich stran spolu s poloměry jim opsaných kružnic. U některých těchto výpočtů používá zlatý řez a jeho vlastnosti.

Další matematik Muhammad abul Vafa (940 - 988) se narodil na území dnešní Íránu a žil za vlády islámské dynastie Bújovců v západním Íránu a v Iráku. Vrcholem této dynastie byla vláda Aduda al dauly, který byl velkým patronem matematiky, věd a umění. Abul Vafa byl jedním z matematiků, kteří byli v roce 959 pozváni na panovníkův dvůr v Bagdádu. Jeho prvním velkým dílem byla Kniha o tom, co z vědy o aritmetice potřebují písaři a obchodníci. Ačkoliv byl odborníkem na používání indických číslic, v celém jeho textu se nevyskytuje žádná: číslice byly zapisovány slovně a výpočty prováděl v hlavě. Indické číslice se tedy v té době mezi obchodníky ještě nepoužívaly. V díle Kniha o geometrických konstrukcích potřebných řemeslníkům přichází s důmyslnou konstrukcí pětiúhelníku a desetiúhelníku a ukazuje, jak vepsat pravidelné mnohoúhelníky do kružnice i do jiných mnohoúhelníků. Při těchto úlohách využívá vlastnosti zlatého řezu. Unikátní částí jeho díla je sled úloh, které řeší pomocí pravítka a kružítka s rameny zafixovanými v určitém úhlu (tzv. metoda zarezlého kružítka). Touto metodou ho pravděpodobně inspiroval Pappos, ale je možné, že se jedná o vlastní abul Vafovu reakci na praktický problém: výsledky úloh při použití fixního úhlu jsou totiž přesnější.

Dalším učencem, který se podílel na rozvoji matematiky, byl Peršan Omar Chajjám (1048 - 1131). Byl básníkem, lékařem, filozofem, astronomem, ale také matematikem. Kvadratické rovnice byly od Řeků poměrně dobře prozkoumány a jejich další zkoumání v té době a navíc bez znalosti komplexních čísel nebylo zajímavé. Proto se začal věnovat kubickým rovnicím. Tyto rovnice rozdělil na několik typů a hledal jejich řešení - a to jak aritmeticky, tak i geometricky. Ke geometrickému řešení kubických rovnic využíval průsečíků vhodných kuželoseček. Zajímal se o iracionální čísla a jejich aproximaci racionálními čísly, čímž se přiblížil k zavedení reálných čísel. Sepsal i traktát o hydrostatických vahách a jejich využití při měření hustoty kapalin.

Ázerbájdžánec Nasír al-Dín al-Túsí (1201 - 1274) se věnoval trigonometrii a zabýval se také pátým Eukleidovým postulátem. Pokoušel se jej dokázat z předchozích čtyř. Sice se mu to nepodařilo, ale svými pracemi přispěl k rozvoji geometrie.

Džemíd al-Káší (cca 1350 - 1436) byl Uzbek, který strávil život v Samarkandu a byl údajně tvůrcem astronomické observatoře postavené v letech 1428 - 1429. Vzhledem k tomu, že dalekohledy v té době ještě neexistovaly, zlepšovali astronomové přesnost svých pozorování tak, že používali velké přístroje - řada z nich tvořila samostatné stavby. V matematice se zabýval kubickými rovnicemi, pro které vyvinul další metody řešení založené na trigonometrii a také přibližné metody řešení těchto rovnic. Přibližný výpočet je pro potřeby praxe dobrý: není sice tak přesný, ale zato je možné jej určit za relativně kratší dobu. Znal a používal binomickou větu sloužící pro umocňování dvojčlenu - on jí používal pouze pro přirozené mocniny.

Binomickou větu můžeme psát ve tvaru: , kde n je přirozené číslo a a a b jsou obecně komplexní čísla; s těmi ale al-Káší počítat nemohl.

Začal používat desetinné zlomky a vyjádřil v nich do té doby nejpřesnější výpočet čísla π.

Trvalo 170 let, než tento výsledek zlepšil německý matematik Ludolf van Ceulen na 20 desetinných míst a později dokonce na 35 desetinných míst.