Fibonacciho posloupnost a pythagorejské trojice

Členy Fibonacciho posloupnosti souvisejí i s pythagorejskými trojicemi.

Pythagorejské trojice jsou trojice čísel, které udávají délky stran pravoúhlého trojúhelníka.

Budeme-li uvažovat čtyři po sobě jdoucí členy Fibonacciho posloupnosti , ,  a , pak jednotlivé členy pythagorejské trojice (x; y; z) získáme takto:

1.    

2.    

3.    

Můžeme tedy psát:

.

(5)

Vzhledem k tomu, že vybíráme libovolné čtyři po sobě jdoucí členy Fibonacciho posloupnosti, platí tyto úvahy pro vztahy Fibonacciho posloupnosti a pythagorejských trojic jak pro Fibonacciho posloupnost začínající členy 1, 1, 2, 3, …, tak pro posloupnost začínající členy 1, 2, 3, …

Vztah (5) lze popsat jednoduše takto: uvažujme čtyři po sobě jdoucích členy Fibonacciho posloupnosti - např. 1, 2, 3 a 5. První číslo pythagorejské trojice (číslo x) získáme jako součin dvou krajních členů uvažované čtveřice - tj. součin čísel 1 a 5; tedy získáme 5. Druhé číslo trojice (číslo y) získáme jako dvojnásobek součinu vnitřních členů dané čtveřice - tj. dvojnásobek součinu čísel 2 a 3; máme tedy 12. Poslední člen trojice (číslo z) získáme jakou součet druhých mocnin prostředních členů čtveřice - tj. součet druhých mocnin čísel 2 a 3. Poslední číslo tedy bude 4 + 9 = 13. Máme tak pythagorejskou trojici (5; 12; 13).

Číslo 13 ale patří mezi členy Fibonacciho posloupnosti.

Navíc se ukazuje, že číslo  je samo členem Fibonacciho posloupnosti, takže platí:

.

(6)

Právě popsané vlastnosti Fibonacciho posloupnosti objevil v roce 1948 matematik Charles Raine.