Ohyb světla na štěrbině

Na štěrbinu šířky b necháme dopadat kolmo rovnoběžný svazek monofrekvenčního světla o vlnové délce .

Aby byl jev dobře pozorovatelný, musí mít štěrbina rozměr srovnatelný s vlnovou délkou světla. Takové štěrbiny se špatně realizují v praxi. Ale vytvořit v praxi optickou mřížku, která je tvořena sadou několika (resp. několika desítek nebo dokonce stovek) štěrbin, je už jednodušší.

Dopadne-li světlo na štěrbinu, bude se šířit za ní na základě Huygensova principu. Z každého bodu se bude světlo šířit v elementárních vlnoplochách - tj. bude se šířit všemi směry. Na obr. 61 jsou vyznačeny dvě vlny (resp. dva paprsky), které vycházejí z krajních bodů štěrbiny a které dopadají do jednoho bodu (do bodu A) na stínítku. V bodě A pak dochází k interferenci obou vln; jestli vznikne interferenční maximum nebo minimum, záleží na dráhovém rozdílu obou vln.

Další úvahy budou prováděny pro tento vybraný směr šíření světla za štěrbinou.

V rovinné vlnoploše KM, která je kolmá na směr šíření světla (viz obr. 61), mají jednotlivé vlny svazku různou fázi v závislosti na dráze, kterou urazily. Dráhový rozdíl mezi vlnou, která se šíří z bodu K (jeden krajní bod štěrbiny), a vlnou, která se šíří z bodu L (druhý krajní bod štěrbiny), je . Potom dráhový rozdíl vlny, která se šíří z bodu (střed štěrbiny), a vlnou šířící se z bodu K je . Dráhový rozdíl vlny vycházející z určitého bodu štěrbiny a vlny vycházející z bodu K roste lineárně v závislosti na vzdálenosti daného bodu od bodu K.

Např. vlna vycházející z bodu, který je od bodu K vzdálen o čtvrtinu šířky štěrbiny, je oproti vlně vycházející z bodu K posunuta o čtvrtinu posunu .

Tak ale lze najít ke každé vlně v šířící se z bodů štěrbiny mezi K a vlnu šířící se z prostoru štěrbiny mezi body a L, která je vzdálená od v přesně o polovinu šířky štěrbiny a která je oproti v dráhově zpožděná o . Všechny vlny se tedy při interferenci navzájem vyruší tehdy, bude-li tento dráhový rozdíl roven lichému počtu půlvln. To ovšem znamená, že celý dráhový rozdíl je roven sudému počtu půlvln, tedy celočíselnému násobku vlnové délky.

Násobíme-li liché číslo dvěma, dostaneme číslo sudé!

Dostáváme tedy: , kde k je celé číslo.

Nyní zbývá určit dráhový rozdíl . Abychom si úlohu matematicky nekomplikovali, necháme dopadat světlo, které projde štěrbinou, na stínítko v takové vzdálenosti d, která je výrazně větší než šířka štěrbiny b (tj. ) - viz obr. 61.

Výrazně větší vzdálenost d ve srovnání se šířkou štěrbiny b znamená, že d bude řádově v decimetrech až metrech. V tom případě bude d větší krát.

Pozor!!! Právě zmíněný poměr není na obr. 61 dodržen!!! Proto budou některé další úvahy vypadat možná nepřirozeně, ale v uvedeném kontextu jsou v pořádku.

V tomto případě totiž budou úhly a skoro stejné a proto je možné směry šíření obou zakreslených vln považovat za navzájem rovnoběžné.

Poznámka: Úhly jsou přitom měřeny tak, jak je zvykem v matematice: od vodorovné čerchované osy proti směru chodu hodinových ručiček jsou kladné, po směru chodu hodinových ručiček jsou záporné.

Z toho vyplývá, že oba zakreslené paprsky, které reprezentují šířící se vlny, budou i skoro stejně dlouhé.

Dráhový rozdíl obou vln je tak dán pouze vzdáleností .

Vzdálenost je určena na základě vlnoplochy (v tomto případě) obou uvažovaných vln. Uvažujeme-li , pak se šíří obě vlny navzájem rovnoběžně. Proto vlnoplocha zobrazená na obr. 61 je vlnoplochou obou vln.

Podle obr. 61 platí a tedy .

Výše jsme odvodili podmínku, kdy nastane interferenční zeslabení světla (vznikne interferenční minimum) v bodě A: (kde ). S využitím právě odvozeného dostáváme tedy podmínku pro vznik interferenčních minim ve tvaru (kde ).

Interferenční maxima vznikají mezi právě popsanými interferenčními minimy, tj. jsou popsána podmínkou (kde ).

Obr. 61

Skutečně zde je , tedy k vybíráme z množiny celých čísel. Ohybový obrazec (interferenční obrazec), který vznikne na stínítku je totiž symetrický podle osy štěrbiny, která interferenci způsobila. Určíme-li tedy směr (pomocí úhlu ), ve kterém nastává interferenční zesílení použitého světla, víme, že tutéž podmínku splňuje i úhel .

To matematicky vyplývá z faktu, že funkce sinus je lichá.

Na obr. 62 je rozdělení maxim na stínítku vidět. Zároveň je na tomto obrázku zobrazen průběh intenzity světla v závislosti na vzdálenosti od nultého maxima. S rostoucím řádem maxima (tj. s rostoucí absolutní hodnotou k) klesá intenzita daného maxima.

Obr. 62

Vlivem ohybu světla vzniká na stínítku ohybový obrazec, v jehož středu je nulté interferenční maximum a po obou stranách se střídají interferenční minima a interferenční maxima. Jejich rozložení závisí na šířce štěrbiny a na vlnové délce světla. Bude-li při dané vlnové délce štěrbina užší, bude větší vzdálenost mezi interferenčními minimy stejného řádu. Tedy užší štěrbina způsobuje výraznější ohyb světla.

Ohyb světla ovlivňuje i zobrazování velmi malých předmětů. Proto se velmi malý bodový objekt nezobrazí v mikroskopu jako bod, ale jako světlý kroužek obklopený soustřednými tmavými a světlými kroužky. Proto má zvětšování obrazu v mikroskopu svojí hranici, za níž není možné rozlišit detaily sledovaného objektu; jeho obraz se pak jeví rozmazaný a neostrý. Vlnovými vlastnostmi je tedy omezena rozlišovací schopnost optických přístrojů. Obecně platí, že dva body rozlišíme při pozorování jako oddělené při takové nejmenší vzdálenosti, při níž nulté maximum jednoho bodu splyne s prvním minimem druhého bodu. Při menší vzdálenosti oba body splývají a vidíme je jako bod jediný. Rozlišovací schopnost přístroje je tím větší, čím kratší je vlnová délka použitého světla.

Proto se také v moderních mikroskopech, která se využívají ke studiu velmi malých objektů (viry, molekuly, …) používají místo světla svazky urychlených elektronů. Ty za určitých podmínek vykazují vlnové vlastnosti a proto je lze použít právě v tzv. elektronových mikroskopech.