Pogsonova rovnice

Při proměřování hvězd se ukázalo, že jasnost hvězdy šesté velikosti je přibližně 100krát slabší než jasnost hvězdy první velikosti.

Subjektivní vjemy některých veličin (jasnost světleného zdroje, intenzita zvuku, frekvence zvuku, osvětlení, hmotnost, …) se řídí Weber-Fechnerovým psychofyzikálním zákonem:

Mění-li se fyzikální podněty působící na lidské smysly řadou geometrickou, vnímá člověk jejich změnu v řadě aritmetické.

Matematicky je možné tuto skutečnost vyjádřit tak, že subjektivní vjem uvedených veličin není úměrný veličině samotné, ale jejímu logaritmu.

Rozsvítíme-li v místnosti 2krát více žárovek, vnímá to člověk tak, že se osvětlení jeho pracovního stolu zvýší jen o trochu. Právě slova krát a o korespondují s Weber-Fechnerovým zákonem: fyzikální podnět (rozsvícené žárovky) se zvýšil geometrickou řadou (2krát), zatímco člověk vnímal jejich změnu v aritmetické řadě (o trochu).

Matematicky tomu skutečně odpovídá logaritmus - zvýší-li se např. argument dekadického logaritmu 100krát, výsledek bude jen o dvě vyšší: .

Pro jasnost dvou hvězd A a B to tedy znamená: , přičemž záporné znaménko u konstanty K je proto, že klesající hvězdné velikosti m odpovídá rostoucí jasnost hvězdy j. Konstantu K je možné určit na základě změřeného faktu, že hvězdná velikost 1 mag odpovídá stokrát větší jasnosti než hvězdná velikost 6 mag, tj. .

Skutečnost, že byl zvolen dekadický logaritmus, nemá vliv na obecnost rovnice. Při volbě logaritmu s jiným základem by hodnota konstanty K vyšla jiná, ale rovnice by dávala stejné výsledky. V tomto případě navíc na základě fyzikálních měření vychází poměr obou krajních jasností 100, a proto se volba dekadického logaritmu nabízí o to více.

Původní rovnici lze přepsat ve tvaru:  a po dosazení tedy dostáváme . Pro rozdíl magnitud vyplývá . Po dosazení do minulé rovnice vychází: -5 = -2K, odkud K = 2,5.

Původní rovnici lze tedy přepsat ve tvaru  resp. . Tato rovnice, kterou odvodil v roce 1850 anglický astronom Norman Robert Pogson (1829 - 1891), se nazývá Pogsonova rovnice.