***Lagrangeovy librační body

V roce 1772 se francouzský matematik Joseph Luis de Lagrange (1736 - 1813) zabýval problémem tří těles, která se periodicky pohybují. Zjistil, že po určité době se tato tři tělesa, z nichž jedno má zanedbatelně malou hmotnost vůči ostatním, vracejí do výchozí polohy a mají stejné vektory rychlostí, jaké měly na začátku sledování pohybu.

Z tohoto poznatku odvodil, že pro každou soustavu dvou těles o hmotnostech  a , z nichž jedno obíhá kolem druhého (resp. obě obíhají kolem společného těžiště) existuje pět libračních bodů  až  (v souřadnicovém systému, který se otáčí spolu se spojnicí obou těles). Tyto librační body jsou místa, kde se přitažlivé gravitační síly a odstředivé síly působící na malé těleso hmotnosti m ( a ) vyrovnávají. Na základě označení podle obr. 22 lze výpočtem ukázat, že poloha tělesa o hmotnosti m není stabilní v bodech ,  a , zatímco v bodech  a  stabilní je.

To znamená, že tělesa v libračních bodech  a  jsou po určitou dobu ve stabilní rovnováze, tj. z hlediska gravitačního potenciálu zde existuje mělké minimum. Vlivem dalšího působení okolních tělese resp. fluktuacemi při pohybu tělesa v rovnovážné poloze, může uvažované těleso svoji rovnovážnou polohu opustit.

Obr. 22	Obr. 23

Ve Sluneční soustavě existuje několik soustav těles, na něž je možné nahlížet jako na dvojici těles, která se pohybují kolem společného těžiště: Slunce - planeta, Země - Měsíc, … Librační body jsou tím výraznější, čím větší jsou hmotnosti uvažovaných těles, neboť pak se spíše najde těleso, které by mohlo být v libračním bodě v rovnováze a které má vzhledem k uvažovaným dvěma tělesům zanedbatelnou hmotnost. Nejvýrazněji se budou tedy librační body projevovat ve vzájemném gravitačním působení dvou těles s největší hmotností ve Sluneční soustavě - tj. Slunce a Jupiter. Na trajektorii Jupitera skutečně existují dva librační body  a , v nichž se udržuje skupinka planetek hlavního pásu. Obě tyto skupiny se nazývají Trójané a od Jupitera mají úhlovou vzdálenost , tj. trojúhelníky  a  jsou rovnostranné (viz obr. 23).